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Représentations des algèbres affines quantiques et applications, QAffine, David Hernandez

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Marie Pinhas-Diena, responsable de la communication scientifique l T. 01 44 27 22 89 l M. marie.pinhas@upmc.fr

Représentations des algèbres affines quantiques et applications, QAffine, David Hernandez

Representations of quantum affine algebras and applications

Les domaines de recherche du lauréat ERC David Hernandez sont la théorie des représentations des groupes quantiques et des algèbres de Lie de dimension infinie. Il étudie ces structures algébriques aux interfaces avec la géométrie algébrique et la physique mathématique.

 

David Hernandez. D. R.

 

La théorie des représentations des algèbres est un sujet transversal qui explore les symétries telles qu'elles apparaissent en mathématiques et dans les sciences en général. Les algèbres affines quantiques forment une classe remarquable de groupes quantiques. Elles peuvent être définies comme des quantifications d'algèbres de Kac-Moody ou comme des affinisations de groupes quantiques de type fini (théorème de Drinfeld).

 

La théorie des représentations des algèbres affines quantiques est très riche. Les catégories de représentations de dimension finie de ces algèbres figurent parmi les catégories les plus étudiées en théorie des groupes quantiques, en lien avec des domaines variés en géométrie (théorie géométrique des représentations, programme de Langlands géométrique), topologie (invariants en basse dimension), combinatoire (cristaux, problèmes de positivité) et physique théorique (Ansatz de Bethe, systèmes intégrables). Pourtant certaines questions fondamentales concernant la structure de ces catégories restent ouvertes. Le projet ERC de David Hernandez vise à en améliorer la compréhension et à développer leurs applications.

 

Parmi les résultats récents de David Hernandez, on peut citer :

  • la démonstration de la conjecture de Kirillov-Reshetikhin.
  • la démonstration de la conjecture du produit tensoriel.
  • la solution au problème de petitesse géométrique de Nakajima.
  • la catégorification des algèbres amassées (avec Bernard Leclerc).
  • la formulation d'une dualité de Langlands pour les groupes quantiques (avec Edward Frenkel).
  • la construction des représentations préfondamentales asymptotiques (avec Michio Jimbo).
  • la démonstration de la conjecture de Frenkel-Reshetikhin sur la description du spectre de systèmes intégrables quantiques (avec Edward Frenkel).

Quelques précisions sur le dernier résultat : La structure des valeurs propres d’un système quantique, c’est-à-dire de son spectre, est essentielle à sa compréhension. Dans un célèbre article daté de 1971, Baxter a calculé ces valeurs propres pour le modèle « de la glace ». Il a montré qu’elles ont une forme remarquable et régulière faisant intervenir des polynômes. Dans les années 1980-1990, il a été conjecturé que de tels polynômes permettent de décrire le spectre de nombreux systèmes quantiques plus généraux. En adoptant le point de vue mathématique de la théorie des représentations, ces polynômes (de Baxter) apparaissent naturellement. Ce résultat a permis à David Hernandez et Edward Frenkel de démontrer en 2013 la conjecture générale.

 

Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (IMJ, CNRS/UPMC/Université Paris Diderot/FSMP)Nouvelle fenêtre

 

À consulter : la page personnelle de David HernandezNouvelle fenêtre.

 

À lire : « Le Grand Prix Jacques Herbrand de l'Académie des Sciences »Nouvelle fenêtre (2013)

 

À lire : « Polynômes, représentations et systèmes quantiques »Nouvelle fenêtre, Images des Mathématiques, CNRS (2014)



14/04/15