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Systèmes non-linéaires, équations aux dérivées partielles, CPDENL, Jean-Michel Coron

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Marie Pinhas-Diena, responsable de la communication scientifique l T. 01 44 27 22 89 l M. marie.pinhas@upmc.fr

Systèmes non-linéaires, équations aux dérivées partielles, CPDENL, Jean-Michel Coron

Contrôle d'équations aux dérivées partielles et non-linéarité

Control of partial differential equations and nonlinearity CPDENL

Un système de contrôle est un système sur lequel on peut agir à l'aide d'une commande ou contrôle (par exemple une voiture sur laquelle on agit en appuyant sur les pédales d’accélérateur et de frein et en tournant le volant). Deux problèmes importants se présentent : la contrôlabilité et la stabilisation. Le problème de la contrôlabilité est celui de savoir si en partant d'une situation donnée on peut atteindre, à l'aide d'un contrôle bien choisi, une situation désirée.

 

Jean-Michel Coron. D. R.

 

Le problème de la stabilisation d'un système peut être facilement compris à l'aide de l'expérience classique du balai que l'on veut faire tenir sur son doigt. On met le balai à la verticale sur son doigt. Si on ne bouge pas le doigt, lentement puis plus rapidement, le balai va s'éloigner de la verticale et finira par tomber. Ceci parce que l'équilibre est instable. Pour éviter que le balai ne tombe, on bouge le doigt en fonction de la position et de la vitesse du balai pour empêcher le balai de tomber. On applique au balai un « feedback » (une force appliquée par le doigt sur le balai qui dépend de l'état du système, ici la position et la vitesse du balai) de façon à rendre stable un équilibre instable en l'absence du feedback.

 

Porte sur la rivière La Meuse, actuellement pilotée par les feedbacks trouvés au cours de la réalisation du projet. © Jean-Michel Coron

 

Le projet porte sur l'importance des non-linéarités pour ces deux problèmes dans le cadre de systèmes modélisés par des équations aux dérivées partielles. Les principaux résultats sont actuellement : - Une nouvelle méthode pour l'étude de la contrôlabilité de systèmes couplés. - La première analyse de la contrôlabilité en présence d'une couche limite, c'est-à-dire un endroit près du bord du domaine où l'état du système varie rapidement. - Une analyse précise de la stabilisation de lois de bilan. Cela a conduit à des feedbacks pour réguler le niveau de l'eau dans les rivières. Ces feedbacks ont été implémentés sur la rivière La Sambre en Belgique et sont en cours d'implémentation sur la rivière La Meuse, toujours en Belgique.

 

Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL, CNRS/UPMC/Université Paris Diderot/Inria)Nouvelle fenêtre



28/01/15