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Géométrie non archimédienne, NMNAG, François Loeser

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Géométrie non archimédienne, NMNAG, François Loeser

New methods in non archimedean geometry (NMNAG)

L'objectif du projet est de développer des nouvelles méthodes et techniques provenant de la théorie des modèles, une branche de la logique mathématique, dans le cadre de la géométrie non-archimédienne avec comme perspective de nouvelles applications en géométrie algébrique et théorie des singularités.

 

Quelques résultats majeurs et leurs applications

En collaboration avec E. Hrushovski, François Loeser a introduit la notion de complétion stable d'une variété algébrique sur un corps valué, une version modèle-théorique des espaces de Berkovich. Ils ont démontré l'existence de rétractions fortes dans ce contexte, ce qui leur a notamment permis de démontrer que l'analytifié au sens de Berkovich d'une variété algébrique sur un corps ultramétrique se rétracte fortement sur un polyèdre et est localement contractile. L'établissement de telles propriétés de modération topologique était un problème ouvert de longue date.

 

En collaboration avec R. Cluckers et G. Comte, F. Loeser est parvenu à établir l'existence de paramétrisations de Yomdin et Gromov dans un contexte non-archimédienne. Dans le cadre archimédien l'utilisation de ces paramétrisations a permis à Pila et Wilkie et Pila d'obtenir des applications spectaculaires en géométrie diophantienne. Cluckers, Comte et Loeser ont également obtenu une version p-adique des résultats de Pila et Wikie qui devrait permettre de démontrer de nouveaux résultats d'indépendance fonctionnelle à la Ax-Lindemann pour certaines variétés admettant des uniformations p-adiques.

 

En utilisant la théorie des modèles, Hrushovski et Loeser ont obtenu une nouvelle approche, basée sur la géométrie non-archimédienne, d'un théorème de point fixe de Denef et Loeser. Ceci leur a permis en particulier de développer une nouvelle construction de la fibre de Milnor motivique. Cette nouvelle construction a permis à Lê Quy Thuong (dans une thèse effectuée sous la direction de F. Loeser) de démontrer un conjecture de Kontsevich et Soibelman jouant un rôle crucial dans la théorie des invariants de Donaldson-Thomas motiviques.

 

Laboratoire Institut de mathématiques de Jussieu (IMJ, CNRS/UPMC/Université Paris Diderot/FSMP)Nouvelle fenêtre

 

À lire le portrait de François Loeser réalisé par la Fondation des sciences mathématiques de Paris : François Loeser ou l’art de l’analogieNouvelle fenêtre

 

© Cyril Frésillon CNRS Images - Photothèque



27/03/15