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Allegro ma non troppo !

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Allegro ma non troppo !

Rencontre entre musique et mathématique

 

La philosophie s’est depuis toujours nourrie des liens tissés entre mathématique et musique. Le système pythagoricien relie l’arithmétique aux composants de base du son mais aussi aux astres comme les planètes et les étoiles. Laurent Mazliak maître de conférences au laboratoire de probabilités et modèles aléatoiresNouvelle fenêtre (LPMA, UPMC/Université Paris Diderot/CNRS), revient sur quelques fondamentaux en deux temps trois mouvements.

 

Au fil des siècles, mathématique et musique ont fini par suivre des voies séparées. Néanmoins, le legs culturel est resté si prégnant que de grands scientifiques comme Descartes, Kepler ou Euler ont continué à s’intéresser à la musique et ont cherché à la comprendre par une approche formelle. Aujourd’hui, l’étude scientifique s’est recentrée sur le phénomène physique très particulier du son musical. Objectif : mieux le comprendre et mettre à disposition des compositeurs de nouveaux outils et de nouveaux instruments.

 

Les instruments à cordes

On distingue les instruments à cordes pincées (guitare, clavecin) de ceux à cordes frappées (piano, cymbalum) ou frottées (qui se jouent à l’aide d’un archet). Après le Moyen Âge, deux familles d’instruments à cordes frottées se sont développées : les violes à six cordes, très en vogue dans les cours royales, et les violons (quatre cordes) à la lutherie plus grossière. À partir du XVIIIe siècle, les violes tomberont en désuétude au profit de la famille des violons qui permettent une meilleure technicité.

Le terme français violon est une mauvaise transcription de l’italien. En italien, violon se dit violino (suffixe ino qui diminue) alors que violone (suffixe one qui augmente) désigne la grosse viole, c’est-à-dire la contrebasse. La contrebasse moderne a gardé l’accord de quarte en quarte des violes, alors que le violon, l’alto et le violoncelle sont accordés de quinte en quinte.

 

Le corps d'un instrument à cordes comporte de nombreuses pièces assemblées : la table en pin, la touche en ébène, les autres parties (en particulier le dos) en érable. Le chevalet destiné à transmettre la vibration de la corde à la table est en bois léger et dur. Les vibrations au niveau du chevalet sont très petites mais, comme elles sont transmises de façon continue à un corps assez volumineux, la vibration de ce dernier dégage une énergie appréciable, d'autant plus que sur les instruments graves (violoncelle, contrebasse) la grande hauteur du chevalet la facilite.

 

Les cordes vibrantes

Une corde métallique tendue entre deux attaches fixes et pincée (pizzicato) émet des sons différents suivant la tension appliquée. La corde peut être considérée comme une succession de petits ressorts, dont les modes de vibration sont à fois transversaux et latéraux. Aux XVIIe et XVIIIe siècles, de nombreux savants ont étudié ce phénomène physique. Le Père Mersenne (1588-1648) a montré que le son est composé d’une infinité d’harmoniques et Jean-le-Rond d’Alembert (1717-1783) en a proposé le premier modèle mathématique complet.

 

Les cordes frottées

Quand une corde est soumise au frottement d’un archet, deux types de forces interviennent : des forces de frottement statique (deux objets immobiles l’un par rapport à l’autre), et des forces de frottement dynamique (les objets sont en mouvement relatif).

 

La mèche de l’archet est faite de crin de cheval qui possède de très mauvaises propriétés de frottement. C'est pourquoi on l’enduit de colophane, pain de résine de conifère. L’électricité statique emprisonne de petites particules qui forment une fine couche à la surface de l'archet et favorisent le frottement. La colophane a en outre d’intéressantes propriétés chimiques qui, avec l’augmentation de la température, améliorent les frottements dynamiques et statiques.

 

Avoir du tempérament

Selon la légende, Pythagore passant devant une forge, fut surpris d’entendre des accords consonants provenant du choc de marteaux sur une enclume. En comparant les masses des marteaux, il aurait constaté que le son émis était d’autant plus harmonieux que les rapports de masse étaient des fractions simples au sens où les nombres intervenant étaient petits. Il aurait ensuite vérifié que les mêmes consonances étaient obtenues sur le monocorde (instrument formé d'une corde tendue) quand les longueurs de corde étaient également dans un rapport simple. Après l'unisson (rapport 1/1 et l'octave 2/1) le rapport le plus simple est 3/2 qui correspond à un intervalle de quinte. Le système pythagoricien propose de construire des notes de quinte en quinte.

 

De la non-jonction exacte du cycle de quinte et de l’approximation qu’on doit faire pour se limiter à un système à douze tons a résulté une des questions centrales du phénomène musical, le problème du choix d’un bon tempérament, ou comment répartir de la façon la plus judicieuse les douze sons de l’octave pour permettre la plus grande souplesse d’utilisation, notamment dans la question des modulations ce qui est capital quand il s'agit d'accorder un instrument à clavier. Ce casse-tête a occupé bien des générations de musiciens et de savants. Le clavier bien tempéré de Jean-Sébastien Bach qui comprend un prélude et une fugue dans chacune des tonalités majeures et mineures du total chromatique, illustre la nécessité d’un choix judicieux pour permettre une bonne circulation des tonalités.

 

György Ligeti a revisité à sa manière le problème du tempérament à travers un mouvement écrit en 1994 dans sa Sonate pour alto. Hora Lunga qui s’inspire d’une danse populaire roumaine, est construit sur un jeu d’ambiguïté entre les harmoniques naturelles de la corde de Do et d’une corde fictive de Fa. En composant cette pièce qui reproduit parfaitement une ambiance de folklore traditionnel, Ligeti a réussi un véritable tour de force. Le compositeur hongrois indique sur la partition un système original fait de flèches verticales sur certaines notes précisant la déviation de la note en question par rapport au tempérament égal. Tout en finesse et subtilité, Ligeti a réussi l'air de rien à construire un langage spécifique et à mener l’auditeur là où il veut en modifiant sa référence tonale. C’est à se demander qui au fond, connaît réellement la musique ?

 

Photo : Violon. D. R.



09/05/12